Paradossi

Immagine paradossale"Noi uomini, si direbbe, desideriamo che la nostra logica sia assoluta. Agiamo partendo da questo presupposto, e poi ci facciamo prendere dal panico non appena ci si presenta il primo indizio che le cose non stanno così ..."

Bateson 1979


Il termine paradosso deriva dal greco para (pa??): contro e doxa (d??a): opinione e significa "che va contro l'opinione corrente" oppure "contro l'apparenza".
Indica una proposizione formulata in evidente contraddizione con l'esperienza comune o con i propri principi elementari della logica ma che sottoposta a rigorosa critica si dimostra valida.

Un ragionamento che appare contraddittorio, ma che deve essere accettato, oppure un ragionamento che appare corretto, ma che porta ad una contraddizione: Una conclusione apparentemente inaccettabile, che deriva da premesse apparentemente accettabili per mezzo di un ragionamento apparentemente accettabile. (Mark Sainsbury)


I paradossi sono "smagliature di assurdita' nel tessuto della conoscenza": dapprima ci fanno dubitare delle nostre credenze e poi ci spingono a ridefinire i nostri concetti.
Alcuni sono antichi quanto la parola, altri sono addirittura preverbali e puramente percettivi.

 

"Un granello di sabbia che cade non fa rumore, quindi nemmeno due, e nemmeno tre, e così via. Quindi nemmeno un mucchio di sabbia che cade fa rumore" .

Paradossale è anche il suo inverso: se tolgo un granello di sabbia ad un mucchio, è ancora un mucchio, così se ne tolgo due e così via. Tuttavia 10 granelli non fanno un mucchio. Qual è allora il granello che fa passare da un mucchio ad un non-mucchio? Anche se questo problema può essere risolto ponendo una funzione che al variare dei granelli restituisca un valore compreso tra 0 e 1, ben più difficile è la risoluzione del seguente paradosso: 1 è un numero piccolo se n è un numero piccolo, allora anche n +1 è un numero piccolo allora ogni numero naturale è piccolo. Questi problemi sono i principali argomenti di discussione dell' epistemologia moderna, che fondamentalmente si riassumono nella domanda: Quando si può definire vera una teoria?


Studiarli è una occasione non solo per rimettere in discussione i pregiudizi piu' radicati, ma anche per scoprire il ruolo che idee semplici e divertenti hanno avuto nello sviluppo delle scienze, dalla matematica all'economia. Le argomentazioni logiche e formalmente inattaccabili di Zenone nel famoso paradosso di Achille e la tartaruga, hanno condotto Karl Weierstrass (1815-1897) ad elaborare una teoria dei limiti.


Nell'ambito delle relazioni umane il paradosso si sviluppa per via dell'ambiguità inevitabile della nostra comunicazione verbale e non verbale (affermazioni, messaggi, relazioni) che portano contraddizioni a più livelli (sono possibili molti significati anche diametralmente opposti) e può avere un notevole impatto sulla salute dell'individuo e del sistema sociale al quale appartiene.

L'ambiguità di per sè non è sufficiente per generare un paradosso, in quanto un individuo ha sempre la possibilità di trovare una via d'uscita per tentativi, utilizzando un metodo stocastico. Se tuttavia la contraddizione si manifesta fra livelli di complessità diversi si potrà innescare un particolare tipo di autoriferimento complesso dal quale è difficile uscirne.
Per lo sviluppo di una patogenicità è necessario un ulteriore fattore: chi riceve una affermazione paradossale deve attribuire ad essa un valore assoluto, interpreta quindi il messaggio in forma totalizzante, come ci ricorda l'esempio storico del paradosso del mentitore.

Lo sviluppo di paradossi patogeni è spesso dovuto al desiderio e al tentativo anche in buona fede di cambiare gli altri, ma l'unico risultato è quello di inibire ulteriormente i cambiamenti e le scelte altrui e di condizionare le proprie.

 


In sintesi perchè si sviuppi un vero paradosso devono coesistere alcune componenti caratteristiche:

 

Paradosso del 2 = 1

x = 1

x = x

x^2=x^2     (x al quadrato)

si sottrae x^2 da entrambi i membri

x^2-x^2= x^2-x^2

(x-x)(x+x) = x(x-x)

si dividono entrambi i membri per (x-x)

(x+x) = x

ma  x = 1

quindi 2 = 1

 

Il passaggio decisivo è dividere per (x - x), che è 0. Il quinto passaggio asserisce correttamente che 1 per 0 è uguale a 2 per 0. Non ne segue però che 1 sia uguale a 2: qualsiasi numero moltiplicato per 0 è uguale a qualsiasi altro numero moltiplicato per 0.

torna a inizio pagina


 

Paradosso dei tre enunciati falsi

Qui ci sono tre enunciati falsi. 

a. 1+1=2 
b. 2:2=3 
c. 5+2=7 
d. 13-3=9 
e. 27:3=9 

Gli enunciati falsi sembrano essere due, b e d. Quindi l'affermazione "Qui ci sono tre enunciati falsi" è falsa e costituisce così il terzo enunciato falso. Ma se gli enunciati falsi sono tre, allora è vera 

 

un altro esempio simile è il seguente: In questo elenco ci sono due errori.

  1. Roma è la capitale dell'Italia.
  2. Due per due è uguale a cinque.
  3. Il gatto è un mammifero.

Quali sono gli errori?

La 1 e la 3. se la 1 è vera allora c'è un solo errore e quindi la 1 è falsa. Se la 1 è falsa allora ci sono due errori e quindi la 1 è vera.

torna a inizio pagina

 


Paradosso del mentitore

Tra i paradossi più antichi e più discussi bisogna annoverare quello del mentitore che viene presentato in moltissime versioni, come, ad esempio, quella che presenta il cretese Epimenide che afferma: 

Epimenide diceva: Tutti i Cretesi sono mentitori"
Epimenide, che era Cretese, diceva la verità?

" tutti i cretesi sono mentitori ". 

Come possiamo determinare il valore di verità dell'affermazione di Epimenide? Sia che la si ammetta vera che falsa si cade subito in contraddizione.

Una diversa formilazione è la seguente: - Io mento - attribuito ad Eubulide, filosofo della scuola megarica che visse nell'antica Grecia del IV secolo a.C., per cui è impossibile stabilire la verità o la falsità dell'affermazione.

 

Il logico Filita di Coo (340 - 285 a .C.) morì a causa del paradosso del mentitore, e la testimonianza che ci ha lasciato è ancor più paradossale:
"Viandante, io sono Filita. L'argomento chiamato il Mentitore e le profonde meditazioni notturne mi condussero alla morte."

torna a inizio pagina


Paradosso di Achille e la Tartaruga

Fra i paradossi più noti vi è quello di Zenone di Elea, vissuto nel V secolo a.C.:

Achille corre a una velocità dieci volte superiore a quella della tartaruga, la quale parte con un vantaggio di 100 metri . Nel momento in cui Achille raggiunge il punto T0 da cui è partita la tartaruga, questa si sarà spostata nel punto T'. Rapidamente Achille raggiungerà T', ma la tartaruga si sarà spostata in T'', e così via all'infinito. Se ne conclude che Achille non raggiungerà mai la tartaruga.
Il paradosso è evidente, in quanto chiunque sa benissimo che è vero il contrario e anche in matematica, con un'equazione di primo grado si può determinare quando avviene il sorpasso. Ma il problema sta nel far quadrare i conti utilizzando la stessa impostazione di Zenone. Si trova così una somma infinita :
100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ..... = 111,11111.....

Per raggiungere la tartaruga Achille dovrà percorrere 1 metro , ma nel frattempo la tartaruga avrà percorso 10 cm e quindi sarà ancora in vantaggio...

per raggiungere la tartaruga Achille dovrà percorrere 10 cm , ma nel frattempo la tartaruga avrà percorso 1 cm e quindi sarà ancora in vantaggio...

per raggiungere la tartaruga Achille dovrà percorrere 1 cm , ma nel frattempo la tartaruga avrà percorso 1 mm e quindi sarà ancora in vantaggio...

per raggiungere la tartaruga Achille dovrà percorrere 1 mm , ma nel frattempo la tartaruga avrà percorso 0,1 mm e quindi sarà ancora in vantaggio...

Poiché questa situazione si ripete all'infinito, Achille, il corridore più veloce della Grecia, non raggiungerà mai la tartaruga.


Con lo con lo sviluppo del calcolo infinitesimale a partire dal XVII secolo si sono potuti risolvere in modo definitivo i problemi posti dalla somma di infiniti termini. A questo proposito Russell annota: "Si dimostra che, se Achille raggiungerà mai la tartaruga, questo dovrà accadere dopo che sia trascorso un numero infinito di istanti dal momento della sua partenza. E questo, di fatto, è vero; ma non è vero che un numero infinito di istanti dia origine a un tempo infinitamente lungo, e quindi non si può affatto concludere che Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

torna a inizio pagina


Paradosso del barbiere

"In paese vi è un solo barbiere che non porta la barba.
Egli rade tutti gli uomini del paese che non si radono mai da soli."

Un villaggio ha tra i suoi abitanti un solo barbiere. Egli è un uomo ben sbarbato che rade tutti e unicamente gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Se i fatti stanno in questo modo sorge immediatamente la domanda: "Chi rade il barbiere?". Se distinguiamo gli uomini del villaggio in due insiemi, quelli che si radono da soli e quelli che si fanno radere dal barbiere, ricadiamo in pieno nelle premesse del paradosso di Russell.

Il barbiere rade se stesso oppure no? Questo paradosso fu sviluppato nel 1918 da Bertrand Russell anche se i più precisi potrebbero obiettare che logicamente non è una vera e propria antinomia, ma una dimostrazione per assurdo dell'inesistenza di un barbiere del genere.

torna a inizio pagina


Paradosso del cartello (o del biglietto di Jourdain)


Si tratta di un cartello sulla cui faccia anteriore è scritta la frase:
"Quello che c'è scritto dietro è falso"

E sulla faccia posteriore è scritta invece la frase:
"Quello che c'è scritto dietro è vero"

Sotto propongo un'altra formulazione per cui è impossibile stabilire la verità o la falsità delle proposizioni ispirata a quella presentata nel 1913 dal matematico francese P. E. B. Jourdain.

Quello che è scritto sotto è vero

Quello che è scritto sopra è falso


Struttura del sito | Mission | Messaggio all'autore | ©2003 www.ipnosiedolore.it